Vectores

Punto medio de una recta

Se obtiene promediando las componentes.
Por ejemplo, para encontrar el punto medio $M$ de la recta que conecta $P_{1}$ a $P_{2}$ , se da el punto $$M({x_1+x_2\over 2},{y_1+y_2\over 2}, {z_1+z_2\over 2})$$

Producto escalar (punto)

Ángulo entre vectores: $$\hat{uv}=\theta=\cos^{-1}{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\over|\vec u|\cdot|\vec v|} = \cos^{-1}{\vec u \cdot \vec v\over |\vec u|\cdot|\vec v|}$$
Producto escalar: El numerador de la expresión del arco-coseno $$\vec u\cdot\vec v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$$
- Esto se deriva de la regla del coseno
- También se define de la forma: $$\vec u \cdot \vec v = |\vec u|\cdot|\vec v| \cdot \cos\theta; \space \theta=\hat{uv}$$
Dos vectores son perpendiculares (u ortogonales) si y solo si su producto escalar es 0 (pues $\cos \frac{π}{2} = 0$ )
- $\vec{u} ⊥ \vec{v} ⟺ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Proyección de un vector sobre otro

Si $u$ representa una fuerza, entonces la proyección ${proy}_{v} u$ es la magnitud efectiva de esa fuerza en la dirección de $v$

$ Vector proyección $u$ sobre $v$ $$\text{proy}_\vec v\space \vec u = (|\vec u| \cos\theta) {\vec v\over |\vec v|} = ({\vec u \cdot \vec v\over |\vec v|^2})\vec v$$
$ Ángulo entre vectores $$\theta = \cos^{-1}({\vec n_1\cdot\vec n_2\over|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|})$$

Producto vectorial (cruz)

$ Definición de producto vectorial $$\vec u \times \vec u = (|\vec u| |\vec v| \sin\theta)\space\hat n$$
- La dirección del vector $u \times v$ se da por la regla de la mano derecha
Dos vectores son paralelos si su producto vectorial da $\vec{0}$
- $\vec{u} ∥ \vec{v} ⟺ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$
& Geométricamente, representa el área de un paralelogramo de base $| u |$ y altura $| v | \sin θ$
$ Se puede calcular también mediante el uso de determinante $$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\u_1&u_2&u_3\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$$

Triple producto escalar (caja)

$ Triple producto escalar: $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$
- Cálculo con determinante $$(\vec u \times \vec v)\cdot \vec w = \begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\v_1&v_2&v_3\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}$$
& Geométricamente, representa el volumen del paralelepípedo formado por los vectores como aristas

Otras fórmulas

$ Distancia entre vectores alabeados $$\delta(\vec u, \vec v) = {|(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w| \over |\vec u \times \vec v|}$$ donde $\vec{w}$ es un vector que conecta ambos planos

Rectas y planos en el espacio
Cilindros y superficies cuadráticas

Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes cuando su suma no modifica el