Transformaciones lineales

• Sean dos EV reales $(V,+,\cdot )\text{ y }(W,\oplus ,\ast )$, sean los vectores $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V$, y sea una función $T:V\to W$
  • Nótese que las operaciones de $V$ y $W$ no son las mismas
• Se dice que $T$ es una transformación lineal de V en W si satisface:
  1. $T(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=T(\overrightarrow{u})\oplus T(\overrightarrow{v})\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V$
  2. $T(\alpha \overrightarrow{u})=\alpha \ast T(\overrightarrow{u})$

Propiedades

• Sean $(V,+,\cdot )\text{ y }(W,\oplus ,\ast )$ dos EV reales, $\overrightarrow{0}\text{ y }{\overrightarrow{0}}^{\prime }$ sus respectivos elementos neutros, y $T:V\to W$ una transformación lineal:

1. $T(\overrightarrow{0})=0^{\prime }$
2. $T(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=T(\overrightarrow{u})-T(\overrightarrow{v});\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V$
3. La transformación de una suma de vectores es igual a la suma de las transformaciones
   • $T(a_i{\overrightarrow{v}}_i+\dots )=a_{i}T({\overrightarrow{v}}_i)+\dots$

Núcleo e Imagen

• Núcleo: Es el conjunto de vectores que, luego de la aplicación, son iguales al vector neutro

  • $\ker (T)=\{\overrightarrow{u}\in V|T(\overrightarrow{u})={\overrightarrow{0}}^{\prime }\}$

• Imagen: Es el conjunto de llegada de la transformación; los vectores que puede tomar la salida de la función

  • $Im=\{T(\overrightarrow{u})|\overrightarrow{u}\in V\}$

• Ninguno de estos conjuntos puede ser vacío pues $T(\overrightarrow{0})={\overrightarrow{0}}^{\prime }$

  • Por ende $\overrightarrow{0}\in \ker (T)$
  • Por ende ${\overrightarrow{0}}^{\prime }\in Im(T)$

• Rango $r(T)$: Es la dimensión de la imagen de $T$

• Nulidad $Nu(T)$: Es la dimensión del núcleo de $T$

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