Sistemas de ecuaciones lineales

Un SEL de orden $m\times n$ es un conjunto de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas

• Dos sistemas son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución

• Se clasifican según cuántas soluciones tienen:

  1. SEL compatible determinado: Tiene una única solución
  2. SEL compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones
  3. SEL incompatible: No tiene ninguna solución

• Se puede representar como una ecuación matricial: $$A \vec x =\vec v$$ $$\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \ a_2 &b_2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x \ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1\ c_2\end{bmatrix}$$ Representa el sistema de ecuaciones $$\begin{cases}a_1\space x + b_1\space y = c_1 \ a_2\space x + b_2\space y=c_2 \end{cases}$$

  • Llamamos a $A$ la matriz de coeficientes
  • Llamamos a $\overrightarrow{v}$ la matriz de términos independientes
  • Llamamos a $\overrightarrow{x}$ la matriz de incógnitas

• Resulta útil representarlo también como la matriz ampliada $(A|\overrightarrow{v})$: $$(A|\vec v) = \begin{pmatrix}\begin{array}{cc|c} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2\end{array}\end{pmatrix}$$

• Al representar un sistema como una matriz, se le pueden aplicar las operaciones elementales, y se obtendrá un sistema equivalente (pues las matrices operadas son equivalentes)

  • Por lo tanto, podemos buscar la matriz escalonada relacionada al SEL, facilitando su solución

SEL Homogéneo

• Un SEL es homogéneo si todos los términos independientes son $0$, o sea, su matriz $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$
  • Por lo tanto, siempre admitirá al menos una solución ($|S|\ge 1$): la solución trivial
• Solución trivial: $S=(0,0,\dots ,0)$
• La matriz $(A|B)$ siempre tendrá su última columna nula, por lo que $\rho (A)=\rho (A|B)\mathrm{\forall }A$
  • Por ende, los SELH siempre son compatibles
  • Por ende, si es compatible determinado entonces sólo admite la solución trivial