Momento de inercia

Los primeros momentos de un cuerpo hablan acerca del equilibrio y de la torca que un objeto experimenta respecto a diferentes ejes en un campo de gravedad.
Si el cuerpo es en sí mismo un eje en rotación, nos interesa conocer cuánta energía se almacena en el eje ó cuánta energía genera el eje a cierta velocidad angular.
Esto es lo que nos ayuda a lograr el momento de inercia ó segundo momento (porque involucra el cuadrado de la distancia).

~ Dividimos el eje en bloques de masa $Δ m_{k}$ , y $r_{k}$ es la distancia del centro de masa del k-ésimo bloque hasta el eje de rotación, el cual gira a una velocidad angular constante $ω = d θ / d t$ rads/seg
Entonces el bloque k-ésimo tendrá:
- Velocidad lineal de la órbita: $v_{k} = \frac{d}{d t} (r_{k} \cdot θ) = r_{k} \frac{d θ}{d t} = r_{k} ω$
- Energía cinética: $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} Δ m_{k} v_{k}^{2} = \frac{1}{2} Δ m_{k} \cdot ω^{2} r_{k}^{2}$
El eje entero tendrá una energía cinética igual a la suma de todas las energías de los bloques, lo que resulta en la integral $$EC_{eje} = {1\over2}\omega^2\int r^2\space dm {\color{red}= } {1\over2} I\omega^2$$ ( $ω^{2} / 2$ sale de la integral por ser constante)
Momento de inercia: es como llamamos al factor $$I=\int r^2\space dm$$
- El momento de inercia depende de la distribución de la masa en el cuerpo; la masa más alejada del eje de rotación contribuye más al momento $I$
Para que un eje con momento de inercia $I$ empiece a girar con velocidad angular $ω$ , debemos suministrar la energía cinética $(1 / 2) I ω^{2}$ , y retirarla luego para frenarlo

Momento de inercia para un sólido en el espacio

~ Sea el eje de rotación la recta $L$ , y el punto $P (x, y, z) \in D$
Si $L$ es el eje $x$
Entonces $r^{2} = y^{2} + z^{2}$ y por ende $$I_x=\iiint_D(y^2+z^2) \cdot\delta(x,y,z) \space dV$$
- Ecuaciones similares se deducen para los $L$ sobre los ejes $y, z$
$ Generalmente: $$I_L = \iiint r^2\cdot \delta\space dV$$ siendo $r (x, y, z)$ la distancia del punto $(x, y, z)$ a la recta $L$ (el eje)
- Aplica para dos dimensiones también
$ Momento polar (Una placa 2D respecto al origen): $$I_0=\iint(x^2+y^2)\delta\space dA = I_x+I_y$$

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