Matrices

Orden de la matriz: Dos reales $p, q$ representan el tamaño en filas y columnas de la matriz $M_{p \times q}$
- Por ejemplo: $A = (a_{i j})_{2 \times 3} = (\begin{matrix} 5 & 4 & 0 \\ - 1 & 3 & 2 \end{matrix})$
- Si $a_{i j} = 0 \forall i, j ⟹ A = ⊘$
- $A$ es matriz cuadrada si $p = q$
Tipos de matrices cuadradas:
- Triangular superior ó inferior: Son nulos todos los elementos por debajo o por arriba (respectivamente) de la diagonal principal
- Diagonal: Sólo la DP es no-nula
  - Escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos son distintos de $0, 1$
  - Identidad: La DP es $= 1$
- Simétrica: Satisface $a_{i, j} = a_{j, i} \forall i, j$
  - Anti-simétrica: Satisface $a_{i, j} = - a_{j, i} \forall i, j$ , y la DP es nula
Operaciones:
- Traspuesta ( $A^{T}$ ): Intercambia filas por columnas
- Suma: Elemento por elemento
  - ~ Sólo si son del mismo orden
  - ~ Propiedades: Conmutativa, Asociativa, Elemento nulo, $A + (- A) = ⊘$
- Producto de real
  - ~ Propiedades: Distributiva, Conmutativa, Unicidad, Elemento nulo
- Producto entre matrices:
  - Dadas las matrices $A = (a)_{p \times r}, B = (b)_{r \times q}$ , la matriz $P = (p)_{p \times q}$ está formada por el producto escalar de los vectores (fila y columna) de A y B, de forma que $p_{i j} = A_{i} \cdot B_{j}$
  - & Por ejemplo, $p_{11} = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + a_{13} b_{31}$ , para dos matrices $3 \times 3$
  - ~ Propiedades: No conmutativo, Asociativo (escalares y matrices), Conmutativo con la matriz identidad
  - ~ Geométricamente se interpreta como una transformación lineal del espacio, o el producto escalar entre dos vectores
Operaciones elementales:
- Intercambiar dos líneas entre sí (Multiplica por $- 1$ el determinante)
- Multiplicar una línea por un escalar no-nulo (Multiplica el determinante por el mismo escalar)
- Sumar a una línea, el producto de otra paralela por un escalar no-nulo
Determinante: Valor escalar intrínseco de la matriz
- ~ Geométricamente se interpreta como el factor que aumenta el área del espacio luego de aplicar la transformación lineal de la matriz. Si este fuera nulo, significa que la transformación reduce las dimensiones del espacio

Matriz de adjuntos / cofactores

( $M_{i j} (A)$ ) Matriz menor de $a_{i j}$ : La sub-matriz de $A$ obtenida de retirar la fila $i$ y la columna $j$
( $C_{i j}$ ) Adjunto de $a_{i j}$ : Se obtiene de la forma $C_{i j} = (- 1)^{i + j} det (M_{i j})$
( $A_{D}$ ) Matriz de adjuntos: La matriz formada por los adjuntos de cada elemento de $A$
- Tiene la forma: $$\text{Adj}(A)=\begin{bmatrix}1\cdot |M_{11}(A)| & (-1)\cdot |M_{12}(A)| \ (-1)\cdot |M_{21}(A)| & 1\cdot |M_{22}(A)|\end{bmatrix}$$

Matriz inversa ( $A^{- 1}$ )

Una matriz admite inversa cuando su transformación no reduce la dimensión del espacio (pues se pierde información)
Es del mismo orden que su matriz original
Satisface que $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I$
La matriz inversa es única
- ! Se demuestra por absurdo

Teorema

Sea $A$ una matriz de orden $n$

Entonces $\exists A^{- 1} ⟺ det A \neq 0$
Entonces $det A^{- 1} = \frac{1}{det A}$
Entonces $A^{- 1} = \frac{A_{D}^{T}}{det A}$

Propiedades

$(A^{- 1})^{- 1} = A$
Al distribuir, se invierte el orden de multiplicación: $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

Geométricamente tiene sentido pues primero se deshace la transformación que fue aplicada última

Rango de una matriz

Geométricamente se interpreta como el número de dimensiones del espacio luego de aplicar la transformación de la matriz
- Si el determinante es nulo, significa que se redujeron las dimensiones del espacio, se perdió información, y por lo tanto, el rango es menor a las dimensiones de la matriz
Según la notación, se dice que el rango de $A$ es el orden de la mayor sub-matriz cuadrada de A que tenga determinante no-nulo
Observaciones:
1. $R (⊘) = 0$
2. $R (A) \leq min (p, q)$
3. Si $A = (a_{i j})_{n} ⟹ R (A) \leq n ⟺ det A \neq 0$

Cálculo del rango

Usamos el método de Gauss, basado en la aplicación de operaciones elementales

Teorema 1

El rango de una matriz no cambia si se le efectúan operaciones elementales

Teorema 2

El determinante de toda matriz triangular es igual al producto de los elementos de la DP
Esto significa que un $0$ en la DP de una matriz triangular anula el determinante

Mediante operaciones elementales y teniendo en cuenta los teoremas, buscamos la máxima sub-matriz triangular de $A$ , cuyo determinante sea no-nulo

Buscamos que $a_{11}$ sea no-nulo
1. También conviene operarlo para que sea $= 1$
Operamos para anular cada elemento inferior ( $a_{21}, a_{31}, . . .$ )
Repetir 1. con el siguiente elemento de la DP

Matriz de adjuntos / cofactores

Matriz inversa (A−1)

Rango de una matriz

Cálculo del rango

Matriz inversa ( $A^{- 1}$ )