Integrales en coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas ubican puntos mediante dos ángulos ( $ϕ, θ$ ) y una distancia ( $ρ = | \overset{―}{O P} | \geq 0$ ).
$ϕ$ es el ángulo que $\overset{―}{O P}$ forma con el semieje $+ z$
$θ$ es el ángulo que $\overset{―}{O P}$ forma con el semieje $+ x$ (tal cual como en coordenadas cilíndricas)

Definición: coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas representan un punto $P$ en el espacio mediante la terna ordenada $(ρ, ϕ, θ)$ en la que:

$ρ$ es la distancia de $P$ al origen
$θ$ es el ángulo de las coordenadas cilíndricas $(0 \leq θ \leq 2 π)$
$ϕ$ es el ángulo entre $\overset{―}{O P}$ y el semieje $+ z (0 \leq ϕ \leq π)$

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con los demás sistemas son:

$r = ρ \sin ϕ$
$z = ρ \cos ϕ$
$x = r \cos θ = ρ \sin ϕ \cos θ$
$y = r \sin θ = ρ \sin ϕ \sin θ$
$ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{r^{2} + z^{2}}$

Determinante jacobiano: Para las coordenadas polares, el determinante es $ρ^{2} \sin ϕ$
- De modo que la integral tiene forma $$\iiint_D f(\rho,\phi,\theta) dV= \iint_D f(\rho,\phi,\theta)\space {\color{red}\rho^2\sin\phi}\space d\rho\space d\phi\space d\theta$$

Definición de límites

Orden de integración: $ρ \to ϕ \to θ$ (preferimos que los ángulos varíen entre constantes)

Bosquejar y proyectar a $x y$
Determinar límites en $ρ$ usando un rayo $M$ desde el origen
Determinar límites en $ϕ$ . Para cualquier $θ$ , el ángulo $ϕ$ tiene una variación.
Determinar límites en $θ$ . La proyección de $M$ llamada $L$ barre cuando $θ$ varía en $α \to β$