Integrales en coordenadas cilíndricas

Cuando un cálculo en física, ingeniería o geometría implica un cilindro, un cono o una esfera, con frecuencia simplificamos nuestro trabajo usando coordenadas cilíndricas o esféricas.

Para obtener las coordenadas cilíndricas de un punto, sumamos la componente en $z$ a su par ordenado correspondiente en coordenadas polares: $$(x,y,z)\to(r\cos\theta,\space r\sin\theta,\space z)$$

Definición: Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas representan un punto $P$ en el espacio mediante ternas de coordenadas $(r, θ, z)$ donde:

$r$ y $θ$ son las coordenadas polares de la proyección vertical de $P$ sobre el plano $x y$
$z$ es la coordenada vertical rectangular

Las coordenadas rectangulares y las cilíndricas se relacionan de las siguientes formas:

$x = r \cos θ; y = r \sin θ; z = z$
$r^{2} = x^{2} + y^{2}$
$\tan θ = y / x$

& Las coordenadas cilíndricas son buenas para describir cilindros cuyo eje corre a lo largo del eje $z$ , y planos que contienen al eje $z$
- Cilindro de radio 4 sobre el eje $z$ : $r = 4$
- Plano que contiene al eje $z$ : $θ = π / 3$
- Plano perpendicular al eje $z$ : $z = 2$

En este caso, partimos la región en cuñas cilíndricas y no en cajas
La integral triple de una función $f$ sobre $D$ tiene la forma $$\iiint_Df\space dz\space r\space dr\space d\theta$$

Cómo integrar en coordenadas cilíndricas

Orden de integración: $d z d r d θ$

Bosquejar la región $D$ y su proyección $R$ sobre el plano $x y$
- Marcar las superficies/curvas que acotan las regiones
Determinar los límites en $z$ , trazando un rayo en dirección de $\hat{k}$ , anotando en qué funciones entra y sale de $D$ el rayo
Determinar los límites en $r$ , trazando un rayo $L$ desde el origen que pase por $(r, θ)$
Determinar los límites en $θ$ . Cuando $L$ barre $R$ , el ángulo $θ$ que forma con el semieje $+ x$ va desde $θ = α \to θ = β$ , y estos son los límites en $θ$

$∭_{D} f (r, θ, z) d V = \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{r = h_{1} (θ)}^{r = h_{2} (θ)} \int_{z = g_{1} (r, θ)}^{z = g_{2} (r, θ)} f (r, θ, z) d z r d r d θ$