Integrales de linea

Sirven para integrar (sumar) los valores de una función $f : R^{n} \to R$ (de n variables y con imagen Real)
Son de línea porque específicamente integramos los valores que surgen de tomar las coordenadas de cada punto de una curva $C$ y usarlos como parámetro de la función $f$
La curva $C$ la parametrizamos en una función $\overset{―}{r} (t)$
Y definimos $\vec{v}$ como la derivada de la parametrización de $\vec{r}$
- Si $C$ es suave de $a$ a $b$ , $\vec{v}$ es continua y nunca vale 0

Definición

Si $f$ está definida sobre una curva $C$ dada en forma paramétrica por $\vec{r} (t) = g (t) \hat{i} + h (t) \hat{j} + k (t) \hat{k}, a \leq t \leq b$ , entonces la integral de línea de $f$ sobre $C$ es $$\int_C f(x,y,z)ds = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k, y_k, z_k) \Delta S_k$$ siempre que el límite exista.

Cómo evaluar una integral de línea

Hacer una parametrización suave de $C$ , $$\vec r(t) = g(t)\hat i + h(t)\hat j + k(t)\hat k \text{, } a\leq t \leq b$$
Evaluar la integral como $$\int_C f(x,y,z) \space ds = \int_a^b f[g(t),h(t),k(t)] \cdot |\vec v(t)| \space dt$$
Si curva $C$ está formada por un número finito de curvas $C_{n}$ , la integral de la función sobre $C$ es la suma de las integrales de la función sobre cada sub-curva

Observaciones

La integral es una integral simple respecto a $t$
El valor de una integral de línea entre dos puntos se modifica al cambiar la trayectoria entre ellos

Repasando

$f$ es una función
$C$ es una curva cuyos puntos están dentro del dominio de $f$
$\vec{r}$ es la parametrización de $C$
$\vec{v}$ es la derivada respsecto a $t$ de $\vec{r}$

Integrales de linea

Repasando

Aplicación: Cálculo de masa y momento

Integrales de línea en el plano