Funciones de varias variables

El dominio

La gráfica

Hay dos formas de graficar una función de dos variables

  1. Curva de nivel: Es el conjunto de todos los puntos de valor constante del rango de la función
  2. Gráfica o superficie z=f(x,y): Son todos los puntos en el espacio para (x,y) en el dominio de f

El límite

Definición

  • lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=L si para todo ϵ positivo existe un δ positivo de forma que la diferencia entre la función y L es menor a ϵ (el error), cuando la distancia al par de entrada (x0,y0) es menor a δ
  • En otras palabras, el límite de f es L cuando siempre tenés lugar en el dominio para seguirte acercando a δ y el resultado no difiere mucho (una cantidad ϵ) de L
  • En símbolos:

 ϵ>0  δ>0/(x,y)Domf:|f(x,y)L|<ϵlim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=L
Estrategia

  • Es más fácil demostrar que el límite NO existe, que demostrar que sí
  1. Factorizar la función a su forma mínima
  2. Primero intentar probar que no existe
  3. Si no se puede probar eso, intentar resolverlo

Demostrar existencia de límites

Usando el teorema del sánguche (y la definición)

Acotaciones útiles

(Salen todas de la priemera)

  • x2x2+y2
  • |x|x2+y2
  • x2x2+y21
  • |x|x2+y21

Cambiando a coordenadas polares

Continuidad

Valores extremos