Funciones de varias variables
- Las funciones de dos variables
Tienen un dominio en (el plano) y devuelven un Real - Esto se interpreta como el punto
en
- Esto se interpreta como el punto
El dominio
-
El domino es una región del plano, que se puede definir como el conjunto de puntos de R
- Punto interior: Es el centro de un disco de radio
que se encuentra totalmente dentro del dominio - Punto frontera: Es el centro de un disco que, para todos los radios, contendrá puntos dentro y fuera del dominio
- Frontera: Es el conjunto de todos los puntos frontera
- Punto interior: Es el centro de un disco de radio
-
La región dominio puede ser abierta, cerrada, o ninguna de las dos
- Región abierta: Región que consta de sólo puntos interiores
- Región cerrada: Contiene todos sus puntos frontera
-
La región también puede ser acotada o no acotada
- Acotada: La región está dentro de un radio fijo
- No acotada: Carece de fronteras
-
& Por ejemplo: El dominio de la función
es
La gráfica
Hay dos formas de graficar una función de dos variables
- Curva de nivel: Es el conjunto de todos los puntos de valor constante del rango de la función
- Gráfica o superficie
: Son todos los puntos en el espacio para en el dominio de
El límite
Definición
si para todo positivo existe un positivo de forma que la diferencia entre la función y es menor a (el error), cuando la distancia al par de entrada es menor a - En otras palabras, el límite de
es cuando siempre tenés lugar en el dominio para seguirte acercando a y el resultado no difiere mucho (una cantidad ) de - En símbolos:
-
La definición es válida para puntos interiores y puntos frontera
-
~ TEOREMA 1: Se mantienen ciertas propiedades de los límites de funciones de una variable
- Regla de la suma (y de la resta)
- Regla de la multiplicación por una constante:
- Regla del producto (y del cociente):
- Regla de la potencia (y de la raíz):
^teorema-14-2-1
-
En dos variables, distintas formas de acercarse al punto puede llegar a límites distintos
- Es suficiente con mostrar que dos trayectorias hacen diferir el límite para afirmar que el límite no existe
Estrategia
- Es más fácil demostrar que el límite NO existe, que demostrar que sí
- Factorizar la función a su forma mínima
- Primero intentar probar que no existe
- Si no se puede probar eso, intentar resolverlo
Demostrar existencia de límites
- Para demostrar que un límite no existe, basta con probar que
es distinto para dos trayectorias distintas, o bien para una familia de trayectorias - Esto se hace calculando el límite para una trayectoria
y para otra por separado - O bien reemplazando una de las variables por la ecuación general de dicha trayectoria (
para rectas que pasan por el origen, para parábolas) - Si el límite depende de la constante
o (en estos casos), el límite depende de la trayectoria y no existe
- Si el límite depende de la constante
- Esto se hace calculando el límite para una trayectoria
- Para demostrar que sí existe, primero se debe sospechar de la existencia (al ver que las familias de trayectorias dan un límite consistente, por ejemplo)
Usando el teorema del sánguche (y la definición)
Acotaciones útiles
(Salen todas de la priemera)
- Para
- Buscamos funciones para acotar el valor absoluto
Cambiando a coordenadas polares
- Cuando usamos coordenadas polares, nos queda que
, sin importar la trayectoria del ángulo, por lo que es un límite fácil de calcular
Continuidad
- Una función es continua en el punto
si: está definida en el punto - El límite de la función en ese punto existe
- El límite es igual a la función evaluada en el punto
- ~ Continuidad de composición: Si
es continua en y es una función de una variable continua en , entonces definida por es continua en
Valores extremos
- ~ TEOREMA 4.1-1 (Teorema de los valores extremos): la función de una variable que es continua a través de un intervalo cerrado y acotado
, asume un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto por lo menos una vez en - Esto es verdadero también para las funciones de varias variables continuas en un conjunto
cerrado y acotado en el plano