Espacios vectoriales

Las únicas cosas que puede hacer un vector es sumarse con otros y ser escalado

Estructura algebraica

Es un objeto matemático formado por un conjunto no vacío sobre el que se definen leyes de composición interna (operaciones entre los elementos de este conjunto)
Los axiomas son unas propiedades que, por convención, una estructura algebraica debe satisfacer para que se considere un espacio vectorial.
Por ende: los espacios vectoriales son una construcción social. /s

Es decir, si se define un conjunto de elementos, y las formas para sumar estos elementos entre sí y multiplicar estos elementos por valores escalares, de modo que esos resultados coincidan con aquellos de los axiomas, podemos considerar esa estructura como un espacio vectorial.
Esto significa que todos los resultados y teoremas del Álgebra lineal se pueden aplicar a esta estructura que se acaba de definir.

En otras palabras, un espacio vectorial es una estructura algebraica que sucede que satisface los axiomas

Propiedades de los espacios vectoriales

$a \vec{u} = \vec{0} ⟺ a = 0 \lor \vec{u} = \vec{0}$ , o sea:
- $a \vec{0} = \vec{0}$
- $0 \vec{u} = \vec{0}$
$(- 1) \vec{u} = - \vec{u}$

Las propiedades 2 y 3 son casos de la 1.
Estas propiedades se pueden demostrar usando los axiomas.

Axiomas

Leyes de composición interna

(La suma entre vectores es cerrada) $\vec{u}, \vec{v} \in V ⟹ \vec{u} + \vec{v} \in V$

Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Existe el elemento neutro: el vector nulo $\vec{0}$
Existe el elemento opuesto de la suma
- La suma de un elemento mas su opuesto resulta en el vector nulo

Leyes de composición externa

(Se admite el producto entre escalar y vector, y esta es cerrada) $\vec{u} \in V, a \in R ⟹ a \vec{u} \in V$

Distributiva respecto a la suma de vectores
Distributiva respecto a la suma de escalares
Propiedad asociativa mixta
- $a (b \vec{v}) = (a b) \vec{v}$
Existe el elemento neutro del producto: la identidad $1$ (escalar)

Forma simbólica

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Sub-espacios vectoriales

Un SEV se define con un subconjunto de los elementos de un EV, y hereda las leyes de composición definidas en el EV original

Teorema: Caracterización de un subespacio vectorial

Sea $W$ un subconjunto no vacío del EV $V$
Si (y sólo si) $W$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación por un escalar definidas en $V$
Entonces $W$ es subespacio vectorial de $V$

O sea, con comprobar estos tres puntos ( $W$ no es vacío, y las dos cerraduras), podemos considerar $W$ un subespacio vectorial

~ Concluimos también que Todo subespacio vectorial de $V$ contiene al elemento neutro $\vec{0}$ de $V$
- ~ Si $(\vec{0} \in V \land \vec{0} \notin W) ⟹ W$ no es subespacio vectorial de $V$
- ! El recíproco no es necesariamente cierto

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