Derivadas parciales

Si $P_{0} (x_{0}, y_{0}) \in {Dom}_{f} ⟹ [π_{0} : y = y_{0} \cap π_{1} : f (x, y)] = z = f (x, y_{0}), (y_{0} cte.)$
- Esto quiere decir, que la intersección entre la superficie de la función $f$ interseca con el plano $y = y_{0}$ resulta en la curva que corresponde a $f$ en el eje $x$
- Esto significa que, en la dirección de cualquier eje, y al pasar por un punto $P_{0}$ , $f$ se comporta como una función de una variable (ya que, si la función tiene dos parámetros, y uno se vuelve constante, sólo uno de ellos "varía")
- Luego podemos encontrar una recta tangente a la curva $f_{x}$ con los métodos para funciones de una variable
Para derivar una función multivariable respecto de uno de sus parámetros, se usan los mismos métodos que para las funciones de una variable, pero considerando los demás parámetros (que no se están derivando) como constantes

Notación

Para denotar una derivada parcial respecto a un parámetro, usamos Delta minúscula en la notación cociente, o anotamos el parámetro derivado como un subíndice de la función:

\frac{\partial f}{\partial x} = f_{x}

Derivadas parciales de segundo orden

Al derivar dos veces una función, generamos su derivada de segundo orden. Se denotan:

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = f_{x x}

Podemos también derivar primero según un parámetro, y luego derivar la derivada sobre otro parámetro. Notar el orden de derivación:

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = f_{y x} = (f_{y})_{x}

(la notación de cociente deriva de Der. a Izq. y la notación de subíndice deriva de Izq. a Der.)

Derivadas parciales y continuidad

A diferencia de las funciones de una sola variable, en dimensiones superiores (funciones de varias vars.), la función puede tener todas sus derivadas parciales, respecto de todos sus parámetros, y aún así no ser continua.

Teorema de la derivada mixta

TEOREMA 2: Teorema de la derivada mixta / Teorema de Clairaut

Si $f (x, y)$ y sus derivadas parciales $f_{x}, f_{y}, f_{x y}, f_{y x}$ están definidas en una región abierta que contiene un punto $(a, b)$ , y son todas continuas en $(a, b)$ , entonces:

f_{x y} (a, b) = f_{y x} (a, b)

Derivabilidad

El punto partida para la diferenciabilidad en varias variables es la idea de incremento
- ~ ???
~ TEOREMA 3 (corolario): Si las derivadas parciales $f_{x}, f_{y}$ de una función $f (x, y)$ son continuas en una región abierta R, entonces $f$ es diferenciable en cada punto de R
- Y por lo tanto, $Δ z = f (P_{0} + Δ P) - f (P_{0})$ tiene a cero cuando $Δ P \to (0, 0)$
- Esto significa que la función es continua en todos los puntos donde es derivable
~ TEOREMA 4: La diferenciabilidad implica continuidad
- Si una función $f (x, y)$ es diferenciable en $P_{0}$ , entonces $f$ es continua en $P_{0}$
! Recordar: una función puede tener sus primeras derivadas parciales y aún así ser discontinua
$ La continuidad de las derivadas parciales garantiza la diferenciabilidad
- (derivable significa que las derivadas parciales son continuas)

Regla de la cadena

Cuando tenemos una función $f (x, y)$ , podemos encontrar la curva que forma en el espacio sobre la trayectoria $c (t) = g (t) \hat{i} + h (t) \hat{j}$ en su dominio, que resulta de la composición $f (c (t)) = f [g (t), h (t)]$
Esta nueva función de una variable la derivamos y hallamos la derivada de la función $f$ respecto a cualquier curva
- ¡ Esto responde mi pregunta de "Podemos encontrar la curva a lo largo del eje x o del y con las derivadas $f_{x}, f_{y}$ , pero cómo encontramos la curva a lo largo de otra trayectoria?"
- ! Más concretamente, si la trayectoria $c$ es una recta en cualquier dirección, encontramos la relación con las derivadas parciales (son las Derivadas direccionales en dirección de $\hat{i}$ y $\hat{j}$ ). Pero antes de ver eso debemos saber derivar esta composición
Denotamos la función composición $w = f [g (t), h (t)]$ , que será en realidad una función de una variable
Variable dependiente: $w = f (x, y)$
Variables intermedias: Las $x, y$ que serán reemplazadas por la trayectoria
Variables independientes:

Funciones de dos variables

Teorema 5: Regla de la cadena para funciones de dos variables independientes

Si $w = f (x, y)$ es derivable
Si $x = x (t)$ , $y = y (t)$ son funciones derivables de $t$
Entonces:

\begin{matrix} w = f [x (t), y (t)] es derivable \land \\ w_{t} = f_{x} [x (t), y (t)] \cdot x^{'} (t) + f_{y} [x (t), y (t)] \cdot y^{'} (t) \end{matrix}

Lo mismo aplica para dimensiones superiores. Por cada dimensión, se suma el producto de la derivada en esa dimensión evaluada en la trayectoria multiplicada por la derivada de la componente trayectoria

f_{n} [x (t), . . ., n (t)] \cdot n^{'} (t)

Funciones de tres variables

Teorema 7: Regla para 2 variables independientes y 3 intermedias

Si $f, g, h, k$ son derivables
Entonces $w$ tiene las derivadas parciales $w_{r}, w_{s}$

w_{r} = w_{x} \cdot x_{r} + w_{y} \cdot y_{r} + w_{z} \cdot z_{r}

Derivación implícita

Teorema 8: Fórmula para derivación implícita

Si $F (x, y)$ derivable
Si la ecuación $F (x, y) = 0$ define $y$ como función derivable de $x$
Entonces en cualquier punto donde $F_{y} \neq 0$ :

y^{'} (x) = - \frac{F_{x}}{F_{y}}

Para una función de 3 variables, se supone que con $F (x, y, z)$ se define una variable $z$ como la función $z = f (x, y)$ . Entonces $F (x, y, f (x, y))$ y por lo tanto

z_{x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}}; z_{y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}}

Teorema de la función implícita: Condiciones donde lo anterior es válido en 3 variables

Las derivadas $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ son continuas en una región abierta $R$ en el espacio que contiene el punto $P_{0}$
$F (P_{0}) = c, c cte.$
$F_{z} (P_{0}) \neq 0$

Si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3, entonces $F (x, y, z) = c$ define a $z$ implícitamente como función derivable de $x$ e $y$ cerca de $P_{0}$
Las derivadas parciales de $z$ están dadas por:

z_{x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}}; z_{y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}}

Derivabilidad

El punto de partida para la diferencibilidad en dos variables es la idea de incremento

Teorema del incremento

Sean los puntos $P_{0} (x_{0}, y_{0}); P_{1} (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y)$
Sean las primeras derivadas parciales de $f$ definidas en una región abierta $R$ que contiene al punto $P_{0}$ y que $f_{x}, f_{y}$ son contínuas en $P_{0}$
Entonces el cambio $Δ z = f (P_{1}) - f (P_{0})$ en el valor de $f$ que resulta del movimiento de $P_{0}$ a $P_{1}$ en $R$ satisface la ecuación

Δ z = f_{x} (P_{0}) Δ x + f_{y} (P_{0}) Δ y + ϵ_{1} Δ x + ϵ_{2} Δ y

donde $ϵ_{1}, ϵ_{2} \to 0$ cuando $Δ x, Δ y \to 0$

Corolario

Si las derivadas parciales $f_{x}, f_{y}$ son contínuas en una región abierta $R$
Entonces $f$ es diferenciable en cada punto de $R$

Definimos la función diferenciable

Función diferenciable

$z = f (x, y)$ es diferenciable en $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ si:

$f_{x} (P_{0})$ y $f_{y} (P_{0})$ existen
$Δ z$ satisface $$\Delta z = f_x(P_0)\Delta x + f_y(P_0)\Delta y + \epsilon_1 \Delta x + \epsilon_2 \Delta y$$

Decimos que $f$ es diferenciable si es derivable en todos los puntos de su dominio.
Decimos que su gráfica es una superficie suave

Diferenciabilidad implica continuidad

Si una función $f (x, y)$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0})$
Entonces $f$ es contínua en ese punto

Derivadas parciales y continuidad

Teorema de la derivada mixta

Derivabilidad

Regla de la cadena

Funciones de dos variables

Funciones de tres variables

Derivación implícita

Derivabilidad

donde ϵ1,ϵ2→0 cuando Δx,Δy→0

Corolario

donde $ϵ_{1}, ϵ_{2} \to 0$ cuando $Δ x, Δ y \to 0$