Derivadas direccionales

• La derivada de $f$ en $P_0$ en la dirección del vector unitario $\hat{u}$ es el número ${\displaystyle (\frac{df}{ds}{)}_{\hat{u},P_0}=\underset{s\to 0}{lim}\frac{f(x_0+s{u}_1,y_0+s{u}_2)-f(x_0,y_0)}{s}}$
  • Donde $s$ es el parámetro de longitud de arco de la curva medida desde $P_0$ y en dirección de $\hat{u}$
  • Se representa como $(D_{u}f{)}_{P_0}$
• $ Las derivadas parciales $f_x(P_0),f_y(P_0)$ son las derivadas direccionales en el punto $P_0$ en las direcciones de $\hat{i},\hat{j}$

Cálculos y gradientes

• Vector gradiente: $\mathrm{\nabla }f=f_x\hat{i}+f_y\hat{j}$
• Propiedades de la derivada direccional:
  • La función crece más rápido en dirección de $\mathrm{\nabla }f$, cuando $\cos \theta =1(\theta =0)(\mathrm{\nabla }f\parallel \overrightarrow{u})$
  • La función decrece más rápido en dirección de $-\mathrm{\nabla }f$, cuando $\cos \theta =-1(\theta =\pi )$
  • En cualquier dirección de $\overrightarrow{u}$ ortogonal a un gradiente de $\mathrm{\nabla }f\ne 0$, la función es constante, pues el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero

Tangentes a curvas de nivel

• $f$ es cte. a lo largo de la curva $\overrightarrow{r}(t)$, por lo que para un $c$ cte., $c=f[g(t),h(t)]$
• Derivando a ambos lados, y por la regla de la cadena, obtenemos que $0=(f_x,f_y)\cdot (g^{\prime },h^{\prime })$
• Esto significa que $f$ es constante cuando $\mathrm{\nabla }f\perp {\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)$: La función cambia de valor en las direcciones paralelas a aquellas en las que se mueve la recta
• & Este comportamiento se observa en el flujo de las aguas de un río, donde este fluye en dirección perpendicular al contorno de la costa

Gradientes de operaciones entre funciones

• Reglas algebraicas para gradientes
  1. Regla de la suma/resta: $\mathrm{\nabla }(f\pm g)=\mathrm{\nabla }f\pm \mathrm{\nabla }g$
  2. Regla del múltiplo constante: $\mathrm{\nabla }(kf)=k\cdot \mathrm{\nabla }f$
  3. Regla del producto: $\mathrm{\nabla }(fg)=f\cdot \mathrm{\nabla }g+g\cdot \mathrm{\nabla }f$
  4. Regla del cociente: $\mathrm{\nabla }\frac{f}{g}=\frac{g\mathrm{\nabla }f-f\mathrm{\nabla }g}{g^2}$

Aproximación

• Con la linealización, podemos aproximar el valor una función en un punto cercano usando las derivadas parciales

• Si para 1 variable $df=f^{\prime }(P_0)ds$

• Para varias variables: $df=(\mathrm{\nabla }f{|}_{P_0}\cdot \overrightarrow{u})ds$ (derivada direccional por el pequeño movimiento)

• Linealización: $f(x,y)\approx L(x,y)=f(P_0)+f_x(P_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(P_0)\mathrm{\Delta }y$

  • Más detallado: $L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

• & La linealización es una aproximación del plano tangente a la superficie

• $ Error de la aproximación lineal estándar

  • Si $f$ tiene primeras y segundas derivadas continuas en un conjunto abierto que contiene un rectángulo $R$ con centro $(x_0,y_0)$
  • Si $M$ es una cota superior para los valores $|f_{xx}|,|f_{yy}|,|f_{xy}|$ de $R$
  • Entonces el error $E(x,y)$ en que se incurre al sustituir $f(x,y)$ en $R$ para su linealización L(x,y) satisface la desigualdad ${\displaystyle |E(x,y)|\le \frac{1}{2}M(|x-x_0|+|y-y_0|{)}^2}$

Diferenciales

• Si la diferencia real de $f$ es $\mathrm{\Delta }f=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(P_0)$, entonces deducimos a partir de la linealización, que para $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ muy pequeños:
  • ${\displaystyle df=f_x(P_0)dx+f_y(P_0)dy}$
• $ Definición: Si nos movemos de $P_0$ a un punto cercano $(x_0+dx,y_0+dy)$ el cambio $df$ en la aproximación lineal de $f$ se llama Diferencia total de $f$
• & La regla general es que las funciones son más sensibles a cambios pequeños en las variables que generan las derivadas parciales más grandes, Como el volumen, que es más sensible a cambios en $h$ que en $r$
  ~