Dependencia lineal

Combinación lineal de vectores

• Sea $V$ un espacio vectorial
• Sea $S=\{{\overrightarrow{v}}_1,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\}\subseteq V$
• Si $\overrightarrow{x}\in v$
• $\overrightarrow{x}$ es combinación lineal de los vectores ${\overrightarrow{v}}_1,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k$ si $\overrightarrow{x}$ puede expresarse como la suma de los vectores de $S$, escalados por los valores de ${\lambda }_i$
  • o sea, si $\overrightarrow{x}=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i⟹\overrightarrow{x}$ es combinación lineal de los vectores de $S$
• ¡ $\overrightarrow{x}$ es combinación lineal de otros vectores, si al escalarlos de cierta forma se puede llegar al mismo vector

Cómo determinar si un vector es combinación lineal de otros

Se analiza un sistema de ecuaciones de la forma $S\overrightarrow{\lambda }=\overrightarrow{v}$ donde $S$ es un conjunto de vectores (un subconjunto de un espacio vectorial)

• En lenguaje matemático: $\overrightarrow{u}\text{ es C.L. de S}⟺\mathrm{\exists }\overrightarrow{\lambda }/S\overrightarrow{\lambda }=\overrightarrow{u}$

1. Se plantea la ecuación de C.L.: $S\overrightarrow{\lambda }=\overrightarrow{v}$
   • Algo como ${\lambda }_1{\overrightarrow{u}}_1+{\lambda }_2{\overrightarrow{u}}_2+\cdots +{\lambda }_k{\overrightarrow{u}}_k=\overrightarrow{v}$
   • $S$ es el conjunto de los vectores de los que es (o no) C.L. el vector $\overrightarrow{v}$
   • $\overrightarrow{\lambda }$ es la n-upla de las incógnitas
2. Se resuelve la suma de vectores en el lado izquierdo
3. Según la igualdad de vectores, se obtiene un SEL tal cual:
   • $$S_{n\times k}=\{\begin{array}{l}{\lambda }_1{a}_{11}+\cdots +{\lambda }_k{a}_{1k}=b_1\\ ⋮\\ {\lambda }_1{a}_{n1}+\cdots +{\lambda }_k{a}_{nk}=b_n\end{array}$$
   • ¡ Recordar que $n=$ N° de ecuaciones/dimensiones vectoriales, y $k=$ N° de vectores en $S$, y es también el número de $\lambda$ incógnitas
4. Se analiza el SEL
   • Si el SEL es compatible, $\overrightarrow{v}$ es C.L. de $S$
   • Si el SEL es incompatible, $\overrightarrow{v}$ no es C.L. de $S$

Dependencia lineal

Sea $S=\{{\overrightarrow{v}}_1,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\}$ un subconjunto de un espacio vectorial $V$, definimos:

• Vectores linealmente dependientes (l.d.): $S$ es l.d. si existen los valores ${\lambda }_i$ (no todos nulos) con los que se puede representar una combinación lineal de $S$ hacia $\overrightarrow{0}$
  • O sea, si el vector nulo $\overrightarrow{0}$ es combinación lineal de $S$
• Vectores linealmente independientes (l.i.): $S$ es l.i. o libre si la única forma de escribir $\overrightarrow{0}$ es con todos los escalares nulos
  • O sea, si sólo se puede expresar $\overrightarrow{0}=0{\overrightarrow{v}}_1+0{\overrightarrow{v}}_2+\dots$
  • O sea, si sólo admite la solución trivial
  • Porque no se puede combinar los vectores de $S$ para formar un nuevo vector
  • En lenguaje matemático: $S\text{ es libre }⟺\mathrm{\exists }!\overrightarrow{\lambda }/S\cdot \overrightarrow{\lambda }=\overrightarrow{0}$

Cómo determinar la dependencia de un conjunto

1. Plantear la ecuación de C.L. para el vector nulo: $S\overrightarrow{\lambda }=\overrightarrow{0}$
2. Se resuelve la multiplicación de cada vector por su escalar: ${\lambda }_1{\overrightarrow{v}}_1+\cdots +{\lambda }_k{\overrightarrow{v}}_k=\overrightarrow{0}$
3. Se analiza el SEL resultante, que resulta ser un SELH
4. Se analiza el tipo de solución del SELH
   • Si el SELH es cuadrado $(n=k)$:
     • $detA\ne 0⟹S\text{ es l.i.}$
     • $detA=0⟹S\text{ es l.d.}$
   • Si el SELH no es cuadrado y ($n<k$, más incógnitas):
     • El sistema es indeterminado y admite solución no trivial $⟹S$ es L.D.
   • Si el SELH no es cuadrado y ($n>k$, más ecuaciones):
     • $\rho (A)=k⟹S\text{ l.i.}$
     • $\rho (A)<k⟹S\text{ l.d.}$

Propiedades de la dependencia

Siendo $V$ un espacio vectorial real, y $S=\{{\overrightarrow{v}}_1,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\}\subseteq V$

1. $S$ es L.D. $⟺$ Uno de los vectores de $S$ es C.L. de los restantes
2. Herencia de la dependencia
   • Si un subconjunto $S_1$ es L.D. $⟹$ $S$ es L.D. (hacia arriba)
   • Si $S$ es L.I. $⟹S_1$ es L.I. (hacia abajo)
3. Si $\overrightarrow{0}\in S⟹S$ es L.D.
4. Cualquier conjunto formado por un $(|S|=1)$ vector no nulo es L.I.
5. Si $\overrightarrow{a}\in V$ es C.L. de ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots$ y todos estos son C.L. de ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ⟹\overrightarrow{a}$ es C.L. de ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots$

< Anterior | Siguiente >