Corriente Continua

Corriente eléctrica

Se define como el flujo de cargas eléctricas que pasan por un área en un tiempo

I = \frac{Δ Q}{Δ t} [A]

Medida en Amperios $(1 A = 1 C / s)$
Se toma como sentido de la corriente el flujo de cargas positivas hacia las negativas
- Esto es el opuesto a la realidad, pero bueno ¯\_(ツ)_/¯
Densidad numérica: Es el número de partículas libres portadoras de carga por unidad de volumen de un conductor
- $ $I = n q A v_{d}$
La corriente puede calcularse como la cantidad de corriente que atraviesa un área por unidad de tiempo:

I = \frac{Δ Q}{Δ t} = n q A v_{d}

Esta corriente viene empujada por un campo eléctrico generado por la diferencia de potencial al conectar el conductor a una fuente

Resistencia

$ La caída de potencial en un segmento del conductor es $$V=E\space \Delta L$$
El cociente entre la caída de potencial y la intensidad de corriente se llama la resistencia

R = \frac{V}{I} [Ω]

Se mide en Ohmios $(1 Ω = 1 V / A)$
Material óhmico: Material en el cual la resistencia no depende de la caída de potencial ni de la intensidad
- $ En estos materiales, la caída de potencial es proporcional a la corriente: $$V=IR$$
- En los materiales no óhmicos la resistencia sí depende de la corriente, por lo que $V$ no es proporcional a $I$ . La diferencia es que en estos la relación no es lineal
La resistencia de un conductor es proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área $$R=\rho{L\over A}$$
- La constante $ρ$ es la resistividad del material (en ohms por metro: $Ω \cdot m$ )
- Depende también de la temperatura del conductor
  - Se suelen dar tablas de resistividad respecto a los 20 °C ( $ρ_{20}$ )
  - El cociente de temperatura de la resistividad ( $α$ ) viene dado por $$ \alpha = {(\rho-\rho_{20})/\rho_{20}\over t_C - 20°C} $$

Energía en circuitos eléctricos

Efecto Joule: El aumento de temperatura en un conductor debido a los choques entre electrones durante el paso de una corriente eléctrica
$ La energía perdida por unidad de tiempo es la potencia $P$ disipada en el conductor $$P=IV \text{ [W]}$$
- $ La potencia disipada por una resistencia se puede expresar mediante la ley de Ohm como: $$P=IV=I^2R={V^2\over R}$$
  - ! Conviene a veces trabajar sin la variable $V$ para evitar confusión

Baterías y fem

Un dispositivo que suministra energía eléctrica se denomina fuente de fem (fuerza electromotriz), tales como una batería o un generador

Una fuente de fem realiza trabajo sobre la carga que pasa a su través, y el trabajo por unidad de carga que realiza se le llama fem ( $ξ [V]$ ) de la fuente
- Una batería ideal es una fuente de fem que mantiene una diferencia de potencial constante en sus terminales
- Una batería real se modela como un paquete que contiene una batería ideal conectada a una resistencia interna $r$
  - La tensión en los bornes de la batería real es $$V_a-V_b = \xi-Ir$$
- Las baterías se especifican en amperio-horas (Ah), lo que indica la carga total que pueden suministrar
  - $Q = 1 A h = (1 C / s) (3600 s) = 3600 C$
  - La energía total almacenada es la carga total por la fem $$W = Q\xi$$

Combinaciones de resistencias

TL;DR: en serie se suman y en paralelo se invierte la suma de los inversos
$en serie: R_{e q} = R_{1} + R_{2} + R_{3} + . . .$ $en serio: R_{e q} = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + . . .}$

Las resistencias en paralelo se distribuyen las corrientes, de forma que $I_{e n t r a n t e} = I_{s a l i e n t e}$ del nudo y tienen la misma caída de potencial

Reglas de Kirchhoff

La suma algebraica de las diferencias de potencial (caídas de tensión) a lo largo de cualquier malla del circuito debe ser cero.
En un punto de ramificación de un circuito en donde puede dividirse la corriente, la suma de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.

Estas reglas también se conocen como la regla de mallas y la regla de nudos, respectivamente

Circuitos de una malla

Si hubiere dos fuentes de fem en el circuito de manera que la corriente es en dirección hacia el borne positivo de $ξ_{2}$ , a través de esta habría una perdida de carga $Δ Q ξ_{2}$
- Si la batería es recargable, esta energía se usa para almacenarla, cargando la batería

Circuitos de múltiples mallas

No conocemos inicialmente los sentidos de las corrientes, pero las leyes de Kirchhoff nos permiten determinarlos, entre otras cosas
- Para esto, sólo elegimos una dirección y si la intensidad $I$ resulta negativa, la corriente va en sentido opuesto al que elegimos
- Tener en cuenta que la corriente siempre circula del lugar de mayor potencial al menor

Regla del signo para la diferencia de potencial a través de una resistencia

Para cada rama del circuito, dibujamos una flecha indicando el sentido positivo de la corriente. La diferencia de potencial $Δ V$ entre los extremos final e inicial de una resistencia (definidos éstos por el sentido de la corriente) es igual a $- I R$ , y entre el inicial y final es $I R$ .

Dispositivos medidores

Amperímetro: Mide la corriente que pasa por un circuito o malla
- Debe tener una resistencia mínima
- Se coloca en serie con la resistencia a medir
Voltímetro: Mide la diferencia de potencial entre terminales de una resistencia
- Debe tener una resistencia lo más alta posible
- Se coloca en paralelo con la resistencia
Galvanómetro: Amperímetro que amplifica la corriente que lee para visualizar corrientes muy pequeñas
- Usado en laboratorios
Ohmímetro: ~

Circuitos RC

Es un circuito que contiene Resistencias y Condensadores Σ(°ロ°)
La corriente fluye en un solo sentido pero varía en el tiempo por los efectos de contención de carga del condensador
Podemos relacionar la carga $Q$ y la intensidad de corriente $I$ en función del tiempo durante la carga y la descarga del condensador

Descarga del condensador

desarrollo inicial
- Consideramos un circuito compuesto de un condensador cargado con carga $Q_{0}$ en serie con una resistencia $R$ (que bien puede ser la resistencia equivalente de un circuito más complejo)
- Recordamos la definición de tensión de un condensador
- $ La intensidad inicial por el circuito será $I_{0} = \frac{V_{0}}{R} = \frac{Q}{C} \frac{1}{R}$
- Aplicamos regla de mallas
- Integramos
- Obtendremos una función que determina la carga del condensador en función del tiempo
  - Esta decrece exponencialmente
$ Definimos la constante de tiempo $$\tau = RC$$
$ La intensidad será $$I=-{dQ\over dt}={Q_0\over RC}e^{-t/\tau} = I_0e^{-t/\tau}$$
- La carga del capacitor en función del tiempo (que genera la intensidad de corriente) es $$Q(t) = Q_0\space e^{-t/\tau}$$

Carga del condensador

Consideramos un circuito con una resistencia $R$ , un condensador $C$ , una fuente de fem $ξ$ y un interruptor $S$
- La regla de mallas indica $0 = ξ - I R - Q / C$
Cuando se cierra $S$ en $t = 0$ la corriente es $I_{0} = ξ / R$ , y la carga $Q$ empieza a aumentar, decreciendo la corriente exponencialmente hasta $Q = C ξ$ e $I = 0$
- En otras palabras, cuando se conecta el circuito con $C$ descargado, este se comporta como una resistencia que aumenta con el tiempo, hasta que detiene toda la corriente
$ El condensador se carga siguiendo la función $$Q(t) = C\xi(1-e^{-t/\tau}) = Q_f(1-e^{-t/\tau})$$
$ Al contrario, la corriente decrece siguiendo $$I(t) = {dQ\over dt}= {\xi\over R}e^{-t/\tau} = I_0e^{-t/\tau}$$

Energía en el condensador

Durante el proceso de carga, fluye una carga $$W=Q_f\xi=C\xi^2$$
La energía almacenada en el condensador es la mitad de esto $$U={1\over2}Q_f\xi$$
- El resto se convierte en calor de Joule

Anexos

Comportamiento del condensador en un circuito

Cuando está totalmente descargado, este se comporta como un cortocircuito
Cuando está totalmente cargado, se comporta como un interruptor abierto (no deja pasar corriente)

Resumen

Las reglas de Kirchhoff son una consecuencia de la conservación de la carga, y la naturaleza conservativa del campo $\vec{E}$
Corriente eléctrica
- Intensidad de la corriente eléctrica: $I = \frac{Δ Q}{Δ t}$
- Velocidad de desplazamiento: $I = q n A v_{d}$
Resistencia: $R = \frac{V}{I}$
- Resistividad $ρ$ : $R = ρ \frac{L}{A}$
- Coeficiente de resistividad según temperatura $α$ : $α = \frac{(ρ - ρ_{20}) / ρ_{20}}{t_{C} - 20 ° C}$
Ley de Ohm: $V = I R$
Potencia disipada por la resistencia: $P = I V = I^{2} R = \frac{V^{2}}{R}$
fem
- Potencia que suministra la fem: $P = ξ I$
Batería
- Voltaje entre bornes: $V_{a} - V_{b} = ξ - I r$
- Energía total almacenada: $W = Q ξ$
Resistencia equivalente
- Al revés que condensadores
Reglas de Kirchhoff
1. Regla de Mallas: Al recorrer un circuito cerrado, la suma de los cambios de potencial es cero
2. Regla de Nudos: En toda unión de un circuito, donde la corriente puede dividirse, la suma de las corrientes es igual a la suma de las corrientes salientes
Descarga de un condensador
- Carga en el condensador: $Q (t) = Q_{0} e^{- t / τ}$
- Corriente en el circuito: $I = \frac{V_{0}}{R} e^{- t / (R C)} = I_{0} e^{- t / τ}$
- Constante de tiempo: $τ = R C$
Carga de un condensador
- Carga en el condensador: $Q = C ξ (1 - e^{- t / (R C)}) = Q_{f} (1 - e^{- t / τ})$
- Corriente en el circuito: $I = + \frac{d Q}{d t} = \frac{ξ}{R} e^{- t / (R C)} = I_{0} e^{- t / τ}$