Conjunto generado

Sean $V$ un EV real y $S \subseteq V$ subconjunto de vectores del EV
Entonces el conjunto generado por $S$ está formado por todas las Combinaciones lineales de los vectores que este contiene:
$gen (S) = {\vec{a} \in V / \vec{a} = \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} {\vec{v}}_{i}, λ_{i} \in R, {\vec{v}}_{i} \in S}$

& Por ejemplo: Sea el conjunto $S = {(2, 3)} \subset R^{2}$ , entonces $g e n (S)$ es el conjunto de todas las C.L. del vector $(2, 3)$ :
- $g e n (S) = {\vec{v} = (x, y) / \vec{v} = λ (2, 3)}$

Para hallar $g e n (S)$

Plantear una C.L. con un vector genérico: $\vec{x} = λ_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots$
Obtener el sistema de ecuaciones correspondiente
Analizar el SEL, dado que $\vec{x} \in g e n (S)$ :
- Si el SEL es indeterminado $⟹ g e n (S) \subseteq V$
  - O sea, la combinación lineal de los vectores de $V$ tiene infinitas soluciones, se pueden crear nuevos vectores
- Si el SEL es determinado $⟹ g e n (S) = V$

Para determinar si $\vec{a} \in g e n (S)$

$\vec{a} \in g e n (S) ⟺ \exists λ_{i}$ tal que verifican la ecuación de C.L.

Se plantea buscar si $\vec{a}$ es C.L. de $S$ : $S \vec{λ} = \vec{a}$
Se analiza el SEL, si es compatible o incompatible
- Si SEL es compatible entonces $\exists λ$ y $\vec{a} \in g e n (S)$

Ejemplo

Pasted image 20240220100504.png

Para hallar $S$ a partir de $g e n (S)$

Del EV $V$ salen dos conjuntos: $T$ y $S$
Hay que encontrar $S$ tal que $g e n (S) = T$
~ no entendí

Propiedades del conjunto generado

Sea $V$ un EV real y $S \subseteq V ⟹ g e n (S) es subespacio vectorial de V$

Sistema generador

Sean $V$ un EV real y $S \subseteq V$
El conjunto $S$ genera a $V$ si $g e n (S) = V$
O sea, $S$ es un sistema generador de $V$ si todo vector de $V$ se puede escribir como C.L. de los vectores de $S$ (el conjunto generado por $S$ es el mismo conjunto que los vectores de $V$ )

< Anterior | Siguiente >