Esta fórmula integral permite calcular el CM de cualquier tipo de objeto de forma irregular
Si el ejercicio no indica densidad, se asume constante
Densidad: Es la razón de masa por unidad de volumen de un objeto que ocupa una región D
Masa: Es la cantidad de masa total del objeto
La relación masa-densidad es: $$M=\lim_{n\to\infty}\Delta m_k = \iiint_d \delta(x,y,z)\space dV$$
Primer momentode una región D respecto a un plano: Es la Integral triple sobre D, de la distancia de un punto en D al plano, multiplicada por la densidad del sólido en ese punto
Para calcular el primer momento de un objeto 2D, eliminamos la coordenada y evaluamos la doble integral
& Por ejemplo: El primer momento con respecto al plano es $$M_{yz}=\iiint_D x\cdot \delta(x,y,z)\space dV$$
Centro de masa: Se obtiene a partir de los primeros momentos
& Por ejemplo: la coordenada del centro de masa es $$\overline x = {M_{yz}\over M} = {\iiint_D x\cdot \delta(x,y,z)\space dV\over \iiint_d \delta(x,y,z)\space dV}$$
Centroide: Es el centro de masa cuando la densidad de un sólido/placa es constante