Capacidad

La energía potencial electrostática de un sistema de cargas es el trabajo total necesario para construir el sistema (para traer, una por una, cada carga desde el infinito $V_{0} = 0$ hasta la posición inicial de cada carga).
Si se carga un material conductor (aislado), aumenta el campo $\vec{E}$ que genera, y por consiguiente, su potencial $V$ .

Condensador: Dispositivo que almacena energía y carga
- Formado por dos materiales conductores aislados entre sí y muy próximos, ambos conectados a una diferencia de potencial (batería), de modo que se carguen con cargas iguales y opuestas
- Capacidad: cociente entre el valor de la carga de cada conductor, por la diferencia de potencial entre ellos: $C = Q / V$
Benjamin Franklin es un ganso

Energía potencial electrostática

Energía potencial electrostática: Es el trabajo total requerido para traer las cargas de un sistema desde el infinito hasta sus posiciones iniciales en el sistema
- Es la suma de los trabajos sobre las cargas para posicionarlas
- No importa el orden en el que se traigan las cargas
- ~ La carga $q_{1}$ no necesitó trabajo para ser posicionada pues fue la primera y el campo $\vec{E}$ era $0$

U = \frac{k q_{2} q_{1}}{r_{1, 2}} + \frac{k q_{3} q_{1}}{r_{1, 3}} + \frac{k q_{2} q_{3}}{r_{2, 3}}

Como no importa el orden de las cargas (pues distintos pares de términos de la suma representan los trabajos para la tercera carga), podemos reescribir la ecuación de una forma más general
- El $1 / 2$ viene porque en el desarrollo repetimos términos para generalizar la ecuación y debemos cancelar esta repetición
  - Para un sistema de $n$ cargas, mientras se traen para formarlo, habrán $n - 1$ campos que generen trabajo (la primera carga no trabaja [no tiene campo para chambear])

U = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_{i} V_{i}

Consideremos que las cargas se posicionan siguiendo la forma de una esfera de radio $R$ y que $n \to \infty$
- Cuando la esfera está cargada con $q$ Coulombs, su potencial es $V = k q / R$
- Esto implica que la ecuación sigue siendo válida para distribuciones continuas
- La suma se convierte en una integral para ir colocando los $d q$
- $\frac{1}{2} V$ sería la carga media de la esfera mientras se está cargando

U = \frac{k}{R} \int_{0}^{Q} q d q = \frac{k Q^{2}}{2 R} = \frac{1}{2} Q V [24.3]

Esta ecuación es válida también para cualquier conductor
El potencial $V$ de un conductor es proporcional a su carga $q$
- O sea, $V = α q, α cte.$
- Por lo tanto, el trabajo para sumarle carga al conductor es $W = V d q = α q d q$
- Terminamos volviendo a la ecuación 24.3

Capacidad

Capacidad: es el cociente entre la carga que almacena un conductor aislado, y el potencial $C = Q / V$
- Depende de la forma y tamaño del conductor, NO de la carga o potencial
- Se mide en Faradios $[1 F = 1 C / v]$
Condensador: Un sistema de dos conductores aislados
- Llamamos "carga del condensador" al valor absoluto de la carga de cualquiera de los conductores (pues ambos tienen cargas iguales y opuestas)
- Se "carga" transfiriendo carga de uno de los conductores al otro, aumentando la diferencia de potencial entre ellos

Condensadores de placas plano-paralelas

Se forma con conductores como láminas metálicas muy finas, separadas por otra lámina delgada de plástico
Sean $A$ el área de cada placa y $d$ la distancia entre ellas $(A >>> d)$ , entonces se comportan como dos planos infinitos en términos de campo $\vec{E}$
- Cada placa contribuye al campo: $E_{p l a c a} = σ / (2 ϵ_{0})$
- $ El campo total es $E = σ / ϵ_{0}$
- Al ser el campo uniforme, el potencial será $V = E d = \frac{σ}{ϵ_{0}} d = \frac{Q d}{ϵ_{0} A}$

La capacidad de un condensador de este tipo es:

C = \frac{Q}{V} = \frac{ϵ_{0} A}{d} [24.10]

Condensadores cilíndricos

Consta de un cilindro o alambre de radio $R_{1}$ y una corteza cilíndrica concéntrica de radio $R_{2} (> R_{1})$
Tiene una capacidad por unidad de longitud
- La capacidad es proporcional a la longitud $L$ de los conductores
- Es necesario que $L >>> R_{2} (> R_{1})$ para que el campo sea uniforme
Usamos una superficie gaussiana cilíndrica para averiguar el campo y así obtener el potencial $V$ entre los conductores (integrando el radio de $R_{1}$ a $R_{2}$ )

C = \frac{Q}{V} = \frac{2 π ϵ_{0} L}{\ln (R_{2} / R_{1})} [24.11]

Almacenar energía eléctrica

La energía que se almacena en un condensador se expresa de la forma:

U = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2}

Cuando se conecta una batería a un condensador, esta le entrega $Q V$ Joules de energía al darle a las placas la misma diferencia de potencial $V$ que en sus bornes
- Esto es el doble que la energía $U$ almacenada en el condensador, pues el resto se disipa en calor
Cuando se desconecta de la batería, el potencial deja de ser el de la batería y es ahora la diferencia de potencial entre las placas $V = E d$

Energía del campo electrostático

Cargar el condensador es lo mismo que armar un campo eléctrico con el trabajo $U$
- Este campo eléctrico (entre las placas) es donde se guarda la energía
Densidad de energía ( $u_{e}$ ) es la energía que hay por unidad de volumen en un campo $\vec{E}$

u_{e} = \frac{energía}{volumen} = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}

O sea, es proporcional al cuadrado del campo $\vec{E}$
~ No entiendo para qué me sirve esto

Circuitos capacitivos

Una batería tiene una diferencia de potencial entre sus bornes cuando está inactiva (su voltaje característico), y una diferencia de potencial durante la transferencia de carga de un borne al otro (voltaje entre bornes en circuito abierto, originado por el bombeo de carga para mantener la diferencia de potencial original)
Cuando se conecta un condensador descargado a una batería, el voltaje de los terminales cae y se produce este bombeo
La carga total que fluye de la batería es la misma que va a cargar el condensador

Combinaciones de condensadores

Dos condensadores conectados en paralelo tienen la misma diferencia de potencial entre sus placas
- Además, en un circuito de dos condensadores, estos se pueden sustituir por un solo elemento que representa el efecto de la suma de ambos
  - O sea, los reemplazamos por un condensador sustituto con una capacidad equivalente, que es igual a la suma de las cargas
  - $C_{e q} = C_{1} + C_{2}$
Dos condensadores conectados en serie comparten la misma carga (variando el signo) en cada una de las placas del sistema
- La diferencia de potencial entre ambos condensadores es la suma de los potenciales a través de cada uno
  - $V = V_{a} - V_{b} = V_{1} + V_{2} = \frac{Q}{C_{1}} + \frac{Q}{C_{2}} = Q (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}})$
  - La capacidad equivalente de los condensadores en serie es $\frac{1}{C_{e q}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \cdot \cdot \cdot$
  - La capacidad $C_{e q}$ es menor a cualquiera de las capacidades individuales, y de hecho decrece con cada condensador que se conecta en serie

Capacidades equivalente

Condensadores en paralelo:

C_{e q} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + \cdot \cdot \cdot

Condensadores en serie:

C_{e q} = \frac{1}{\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \cdot \cdot \cdot}

Dieléctricos

Es un material no conductor
Al colocarse entre las placas de un condensador, debilita el campo $\vec{E}$ en un factor de $k$ veces
- Esto disminuye la diferencia de potencial sin alterar la cantidad de carga que contienen los conductores
- Recordamos que $C = Q / V ⟹$ si $V ↓= C ↑$
  - $ La capacidad aumenta de la forma $C = κ C_{0}$
  - $ La carga $Q$ aumenta si el dieléctrico se coloca durante la carga: $Q = k Q_{0}$
El campo en el interior de un dieléctrico es:

E = \frac{E_{0}}{k}

El factor $k$ es una constante tabulada para cada material dieléctrico

Energía almacenada en presencia de un dieléctrico

U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2}

U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} (\frac{ϵ A}{d}) (E d)^{2} = \frac{1}{2} ϵ E^{2} (A d)

u_{e} = \frac{1}{2} ϵ E^{2} = \frac{1}{2} k ϵ_{0} E^{2}

Anexos

Repasos pendientes

24.5

Para qué sirve lo de densidad de energía/energía del campo electrostático

Resumen

Capacidad: magnitud que relaciona $Q$ y $Δ V$
Dispositivos conectados en paralelo tienen la misma $Δ V$ en sus extremos

Energía pot. electrostática

de un sistema de cargas: es el trabajo necesario para transportar las cargas del infinito a sus posiciones finales

Dieléctrico

Dieléctrico: material no conductor
- Si se inserta dentro de un condensador, su capacidad aumenta un factor $k$ (cte. dieléctrica)
- Aumenta la resistencia a la ruptura dieléctrica
- Separa físicamente los conductores de un condensador
Campo $E$ : $E = \frac{E_{0}}{k}$
Capacidad: $C = k C_{0}$
Permitividad: $ϵ = k ϵ_{0}$