Circuitos en Alterna - Inductores y Capacitores | El Traductor

Cuando la salida de un generador es sinusoidal, también lo es la corriente en los elementos del circuito, aunque las fases del generador y los elementos pueden discrepar.
Cuando la fem y la corriente son sinusoidales, pueden relacionarse entre sí mediante sus valores máximos.

Generadores

Es, básicamente, una espira que gira con una velocidad angular $\omega$ dentro de un campo magnético. El cambio de flujo por el giro genera una fem

• Si su velocidad angular es $\omega$ y su ángulo inicial es $\delta$, su ángulo en función del tiempo será $\theta =\delta +\omega t$
• Flujo: ${\varphi }_m=NBA\cos (\delta +\omega t)=NBA\cos (\delta +2\pi ft)$
• Fem: $\xi =-\frac{d{\varphi }_m}{dt}=...+NBA\omega \cos (\delta +\omega t)$
• Fem máxima: ${\xi }_{max}=NBA\omega$
• Fem (reescrita) $\xi ={\xi }_{max}\sin (\omega t+\delta )$

CA en una resistencia

• La tensión por la resistencia es igual a la fem, y está en fase con ella
• Potencia media disipada: $$P_m = {I_{max}^2 R\over 2}$$

Valores eficaces

• $ Para cualquier valor (tensión o intensidad), el valor es $$I_{\text{ef}} = \sqrt{(I^2)_m}$$
• $ La relación entre la corriente eficaz y la máxima $$I_{ef} = {I_{max}\over \sqrt{2}}$$
• La potencia media es $P_m={\xi }_{ef}{I}_{ef}$

Circuitos de CA

• Los condensadores e inductores se comportan distinto en ca que en cc

Inductores $L$

• La caída de potencial adelanta a la corriente en 90 grados
  • Cuando $I=0$, pero está creciendo, $\frac{dI}{dl}$ es máximo y se comienza a generar la fcem en el inductor
  • El $V_{max}$ se alcanza 90° antes (un cuarto de ciclo) antes que la $I_{max}$
• Se define este retraso como una "Resistencia" hecha por la inductancia, o Reactancia/Impedancia inductiva
• $ Reactancia o impedancia inductiva $$X_L=\omega L$$
• Su corriente eficaz es $$I_{ef}={V_{L,ef}\over X_L}$$

Condensadores $C$

• La corriente que pasa por el condensador $I_C$ es proporcional a la variación de potencial que se le aplica $\frac{dV}{dt}$ $$I_C = C\cdot {dV\over dt}$$
• O sea, que en un entorno de ca (corriente variable), el condensador menos resistencia pone, a mayor frecuencia. Reactancia capacitiva: $$X_C={1\over \omega C}$$

Fasores

• Son vectores que representan una tensión o una corriente de un circuito, y su desfasaje respecto a la corriente o voltaje del generador
• El eje $x$ representa el valor resistivo, y el $y$ representa las impedancias, inductiva (para $y>0$), y capacitiva para $y<0$

Circuitos LC & RLC

Sin generador

Si se descarga un condensador a través de una bobina, la carga $Q$ y la tensión $V_C$ del condensador oscilan con frecuencia angular $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

• $ Frecuencia natural del circuito (velocidad de oscilación de la corriente entre el L y el C) $$\omega_0 = {1\over \sqrt{LC}}$$
• $ Corriente máxima en circuito LC $$I_{max} = \omega Q_{max}$$

Con generador

• $ Constante de fase en un circuito en serie LRC $$\tan \delta = {X_L-X_c\over R}$$
• $ Impedancia de un circuito en serie LRC $$Z=\sqrt{R^2 + (X_L+X_C)^2}$$
• Reactancia total: $X_L-X_C$
• $ Corriente en el circuito en serie LRC $$I_{max} = {V_{ap,max}\over Z}$$ $$I = {V_{ap,max}\over Z} \cos(\omega t-\delta)$$

Resonancia

• Cuando $X_L=X_C⟹\text{reactancia total}=0\wedge Z\text{ mínimo pues }Z=R\wedge \delta =0$
• El valor ${\omega }_0$ para que $X_L=X_C$ se calcula fácilmente desarrollando esa igualdad, y es igual a la frecuencia natural del circuito
• Potencia: $P=I^{2}R=(I_{max}\cos (\omega t-\delta ){)}^{2}R$
• Potencia media: $P_m=\frac{1}{2}{V}_{ap,max}{I}_{ap,max}\cos \delta$
  • Factor de potencia $\cos \delta$: Cuando $X_L=X_C⟹\delta =0⟹\cos \delta =1⟹P\text{ es máxima}$
• $ Factor $Q$ $$Q={\omega_0 L\over R}\approx {\omega_0\over\Delta\omega} = {f_0\over\Delta f}$$
  • $\mathrm{\Delta }f$ es la anchura de la resonancia

Circuito RLC en paralelo

• Como las tensiones son las mismas para los tres elementos, lo que varía y analizamos son las corrientes
• Como la caída de tensión en el inductor $V_L$ adelanta a la corriente $I_C$, esta se retrasa 90° respecto a la tensión. Y lo mismo pasa con el capacitor
  • 
• Frecuencia natural: ${\omega }_0=\sqrt{LC}$

Transformadores

• Es una maquinita como vos ya sabés
  
  • El núcleo sirve para guiar el campo $\overrightarrow{B}$
• Relación entre números de vueltas: $$V_2 = {N_2\over N_1} V_1$$
• Relación entre corrientes: $$N_1I_1=N_2I_2$$
• Relación entre potencias: $$V_{1,ef}\space I_{1,ef}=V_{2,ef}\space I_{2,ef}$$

Anexos

Resumen

1. Reactancia: Propiedad de los condensadores $C$ e inductores $L$ que depende de la frecuencia $f$. Análoga a la resistencia eléctrica.
2. Impedancia: Propiedad de un circuito, dependiente de la frecuencia $f$. Análoga a la resistencia del circuito de cc.
3. Fasor: Es un vector bidimensional que representa las relaciones de fase en un circuito
4. Resonancia: Sucede cuando la frecuencia del generador es igual a la frecuencia natural del circuito oscilante

• Generador de ca
  • Fem generada: $\xi ={\xi }_{max}\cos (\omega t+\delta )$
• Corriente
  • ...eficaz: $I_{ef}=\sqrt{(I^2{)}_m}=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$
  • ...en un dispositivo $d$: $I_{ef}=\frac{V_{d,ef}}{X_d}$
    • donde $X_d$ es la impedancia inductiva, capacitiva, o resistiva
• Reactancia (sentido común, es la resistencia de los dispositivos y sabes como se comportan)
  • Reactancia inductiva: $X_L=\omega L$
• Disipación de potencia media
• Fasores
• Circuitos en serie LC/RLC
• Circuitos en serie RLC con caída de potencial de frecuencia $\omega$
• Factor $Q$
• Transformadores