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Se define la constante ${\mu }_0$

$\overrightarrow{B}$ creado por cargas puntuales

• $ Cuando una carga puntual $q$ se mueve con velocidad $\overrightarrow{v}$, se produce un campo magnético $$\vec B = {\mu_0\over 4\pi} \frac{q\space\vec v\times \hat r}{r^2}$$ donde $\hat{r}$ es el versor hacia el punto de medición del campo y $r$ es la distancia a este

Ley de Biot-Savart: $\overrightarrow{B}$ creado por corrientes eléctricas

• Lo único que dice es que la ecuación de cargas puntuales la calculemos para diferenciales de desplazamiento
• $ Ley de Biot-Savart $$d\vec B = {\mu_0\over4\pi}\frac{I\space d\vec l\times\hat r}{r^2}$$
• Es análoga a la ley de Coulomb, con la diferencia de que las direcciones se comportan distinto entre las leyes
  • El campo $\overrightarrow{E}$ tiene dirección radial hacia el punto de medición, mientras que el campo $\overrightarrow{B}$ tiene dirección perpendicular a $\hat{r}$ y a $\overrightarrow{v}$ (o perpendicular a $d\overrightarrow{l}$)
• En un punto situado sobre la línea de un elemento de corriente, el campo $\overrightarrow{B}$ es cero

$\overrightarrow{B}$ debido a una espira de corriente

En el eje de la espira, todos los $d\overrightarrow{l}$ aportan el mismo campo

• $ Campo $\overrightarrow{B}$ en el centro de una espira de corriente: $$B={\mu_0\over4\pi}{I\over R^2}2\pi R \color{red} = {\mu_0I\over 2R}$$

A una distancia $x$ sobre el eje de la espira, la simetría cancela las componentes $B_y$, quedando sólo campo en dirección $x$.
Las distancias a todos los $dl$ también son iguales.

• $ Campo $\overrightarrow{B}$ en el eje de una espira de corriente: $$B_x = {\mu_0\over4\pi}{IR\over (x^2+R^2)^{3/2}}2\pi R \color{red} = {\mu_0\over4\pi}{2\pi R^2I\over(x^2+R^2)^{3/2}}$$
  • Es fácil deducir que si el punto de observación está muy lejos ($x>>R$) el denominador pasa a ser $(x^2+R^2{)}^{3/2}=|x{|}^3,x>>R$

Campo $\overrightarrow{B}$ debido a una corriente en un solenoide

• Consideramos un solenoide de longitud $L$ hecho de $N$ vueltas de conductor enrolladas al rededor del eje $x$, que lleva una corriente $I$
• ! Definimos $n$ como la cantidad de vueltas por longitud $n=N/L$
• Una longitud $dx$ del solenoide puede considerarse una espira singular llevando una corriente $di=nIdx$
• ~ Integramos de la fórmula para campo sobre el eje de una espira circular
• $ $B_x$ en el eje del solenoide para $x=0$ $$B_x = {\mu_0nI\over2}{({x_2\over\sqrt{x_2^2+R^2}}-{x_1\over\sqrt{x_1^2+R^2}})}$$
  • $ Si $L>>R$: $$B_x = \mu_0nI$$
• $ En los extremos del solenoide, el campo tiene la mitad de la magnitud del campo en el centro del mismo
  

Campo $\overrightarrow{B}$ por un segmento conductor recto

• ~ Queremos medir el campo en un punto en una altura $R$ por encima del conductor
  
• $ $\overrightarrow{B}$ debido a un segmento de conductor recto $$B= {\mu_0\over4\pi}{I\over R} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$$
• $ Si la longitud tiende a infinito por ambos sentidos (${\theta }_2\to 90°\wedge {\theta }_1\to -90°$) decimos que el conductor es infinito: $$B={\mu_0\over4\pi}{2I\over R}$$

Flujo magnético: Ley de Gauss para el magnetismo

• $ La cantidad de líneas de campo magnético ${\varphi }_B$ que salen de una superficie Gaussiana es siempre la misma a la cantidad que entran, por lo que el flujo magnético neto es siempre 0 $$\phi_B = \oint_S B_n\space dA = 0$$
• Las líneas de campo $\overrightarrow{B}$ nunca divergen al infinito
  • ~ Antes en este apunte he dicho que las líneas de campo de un solenoide divergen en sus extremos. Me refería a que el campo es menos denso en los extremos y divergen hacia el extremo opuesto

Ley de Ampère

• Análogamente a la ley de Gauss para calcular distribuciones continuas de campo $\overrightarrow{E}$, la ley de Ampère propone relacionar la integral de línea del $\overrightarrow{B}$ tangente a una curva $C$ con una corriente $I$ que atraviesa el área limitada por $C$
  
• $ Ley de Ampère $$\text{Circulación: }\oint_C B_t\space d\vec l = \oint_C \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_C$$
  • Es muy útil cuando hay simetría tal que $B_t$ es constante

Campo $\overrightarrow{B}$ en el interior de un toroide enrollado

• Se aplica la ley de Ampère con una "curva Gaussiana" como se muestra en la figura
  
• $ B en el interior de un toroide $$B={\mu_0NI\over2\pi r}, \space a<r<b$$
  • Cabe notar que si fuese $r>b$, la corriente sería cero porque se cancelan las direcciones de las corrientes $$r<a \lor r>b \implies B=0$$

Anexos

• $ Campo de un dipolo magnético en el eje del dipolo: $$B_x ={\mu_0\over4\pi}{2I\pi R^2\over|x|^3} = {\mu_0\over4\pi}{2\mu\over|x|^3}$$
  • Es análogo a una espira muy lejana
• $ Flujo ${\varphi }_m$ a través de un solenoide: $$\phi_m = {\mu_0N^2I\pi \space r^2\over l}$$^formula-flujo-solenoide

Repasos pendientes

Resumen

• Los campos magnéticos surgen de las cargas móviles, es decir, de las corrientes eléctricas
• La ley de Biot-Savart describe el campo magnético hecho por un elemento de corriente
• La ley de Ampère relaciona la integral de línea del campo $\overrightarrow{B}$ al rededor de una curva cerrada con la corriente total a través del área de la curva