Campo Eléctrico. Cálculo con ley de Gauss

Establecemos que:

Si $\vec{E} \cdot {\hat{n}}_{p} = 0 ⟹ {\vec{E}}_{p} = 0$
- Es decir: si en un punto $p$ de la superficie, la superficie es paralela al campo $\vec{E}$ --o sea, que el vector normal $\hat{n}$ es perpendicular al campo $\vec{E}$ -- el campo será cero en ese punto: ${\vec{E}}_{p} = 0$

Simetría plana

Con un plano infinito, el cálculo es el mismo $$\vec E = {\sigma\over 2\epsilon_0}$$

Para una carga puntual (la cual tiene simetría esférica) usamos una superficie gaussiana esférica de radio $r$ , de modo que $E_{n} = \vec{E} \cdot \hat{n} = E_{r} cte$
- O sea, el campo depende de la distancia de la superficie a la carga, y por la simetría este es constante en todos los puntos
La superficie gaussiana tiene área $4 π r^{2}$
El flujo neto es $$\phi_{neto} = \oint_S \vec E\cdot \hat n dA = \int_S E_r dA = E_r \oint dA \color{red} = E_r4\pi r^2$$

(ley de Gauss) \frac{q}{ϵ_{0}} = E_{r} 4 π r^{2}

Despejamos el campo $$E_r = {1\over 4\pi\epsilon_0}{q\over r^2} = {kq\over r^2} \text{ (ley de Coulomb)}$$
! Dedujimos la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss (°ロ°) !

& Tener una corteza esférica de carga es lo mismo que decir una esfera conductora
- Hay que recordar que un material conductor lleva la carga eléctrica en su superficie
El campo dentro de la esfera hueca es $0$ y hay una discontinuidad en el borde con la esfera:
- Los campos $\vec{E}$ dentro de la esfera se cancelan mutuamente y tanto el campo eléctrico como el flujo dentro de la esfera es cero
  - Además de que $r_{g a u s s} < R_{c a r g a} ⟹ Q_{encerrada} = 0$
Fuera de la esfera, el campo se puede contar como el de una carga puntual en el centro de la esfera
- Calcular con Fundamentos#Campo debido a una carga puntual

El campo $\vec{E}$ a una distancia $r$ del centro de una esfera de carga uniforme (de radio $R$ y densidad $ρ = Q / V$ ) vine dado por:

r \geq R, E_{r} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}} [22.26a]

r \leq R, E_{r} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q r}{R^{3}} [22.26b]

Esto se deriva relacionando --mediante la ley de Gauss-- el flujo que pasa por la superficie Gaussiana con el volumen de carga que encierra dicha superficie, que será una porción de la carga proporcional a la densidad $ρ$
- En algún momento, se cancelan componentes entre los volúmenes de las dos esferas
& Como la sup. Gaussiana siempre encierra una cantidad de carga, el campo es contínuo desde $r = 0 \to r = + \infty$

Una distribución tiene simetría cilíndrica, si desde otra superficie cilíndrica que esté sobre el mismo eje que ella se puede apreciar el mismo campo constante
- El área de la superficie cilíndrica es $A_{c i l} = 2 π r L$
La distribución de carga se comporta como una carga lineal (que suponemos infinita), y el campo no depende de la longitud de la carga encerrada, sólo su densidad $λ$

E_{r} = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{λ}{r} $ $ D o n d e $ r $ e s e l r a d i o d e l a s u p e r f i c i e g a u s s i a n a c i l í n d r i c a -! S i l a s u p e r f i c i e e s t u v i e r a c e r c a d e l o s e x t r e m o s d e l a c a r g a l i n e a l (o s e a, * e s f i n i t a *) e s t e c á l c u l o d e l c a m p o a p a r t i r d e l a l e y d e G a u s s n o s e r í a v á l i d o [[N o t a s / C a m p o e l é c t r i c o . E n l a s s u p e r f i c i e s ∥ S i g u i e n t e : C a m p o e l é c t r i c o e n l a s s u p e r f i c i e s >]]