Bases y dimensión

• $ Base de un EV $V$: Es un subconjunto de $V$ tal que:

  1. $B$ es linealmente independiente
  2. $B$ genera a $V$. O sea, $gen(B)=V$

• Todo espacio vectorial tiene al menos una base

• Sea $A$ es una base del EV $V$, si $\overrightarrow{v}\in V$ entonces $\overrightarrow{v}$ se representa de manera única como C.L. de los elementos de $A$

Determinar si $B$ es base de $V$

• Buscamos que se cumplan las condiciones de la definición:

1. $B$ es linealmente independiente? Ver procedimiento >
2. $B$ genera a $V$, $gen(B)=V$? Ver procedimiento >
   • Se busca que el SEL sea determinado

Propiedades de las bases

1. Si $A$ es una base del EV $V$ con $n$ elementos, entonces cualquier subconjunto de $V$ que tenga más de $n$ elementos es libre (L.I.)
2. Si $A,B$ son dos bases distintas del EV $V$, entonces $|A|=|B|$

Dimensión de un EV

• Sea $(V,R,+,\cdot )$ un EV tal que $V\ne \overrightarrow{0}$

• La dimensión de $V$ es la cantidad de vectores que tiene una base de $V$

• Si un conjunto de $n$ vectores forma una base $V$, entonces $V$ es $n$-dimensional: $Dim(V)=n$

• ! Si no existe una base, $V$ es de dimensión infinita

• ! Si $V=\overrightarrow{0}$ se lo considera dimensión 0 porque no contiene un subconjunto L.I.

Propiedades

• Para un EV n-dimensional y un subconjunto $S\subseteq V$ de $p$ elementos
  1. Si $S$ es L.I. $p\le n$
  2. Si $S$ genera a $V$, $p\ge n$
  3. Si $p=n$ y $S$ es L.I., $S$ es base de $V$
  4. ~
• De nuevo, a ver
  1. Una base es todo sub-conjunto de $V$ libre formado por $n$ vectores
  2. Una base es todo conjunto de $n$ vectores que genere a $V$
  3. Todo conjunto de más de $n$ vectores en $V$ es libre
  4. Todo conjunto libre en $V$ puede extenderse a una base

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