240902 - Transformada de Laplace

Clase

Cap. 21: Transformada de Laplace

Definición a ojímetro

Las transformadas de Laplace son como las derivadas: Una operación que opera sobre una función y devuelve una nueva función que funciona para operar sobre los valores de su dominio ( $x$ )

Def:
$f (x), x \geq 0 \infty$
$s$ es otra variable real

Notación:
$L [f (x)] = F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s x} f (x) d x$

Cuando el valor $s$ hace que la integral converja, el límite existe $\forall x$
Cuando la integral NO converge, decimos que $f (x)$ no tiene transformada de Laplace

Todo muy lindo, pero cómo lo hago?

TLDR: fijate en la tabla lol

definiciones

(1) ~

Tomá la integral (1)

Propiedades

Linealidad

La suma de las transformadas es igual a la transformada de las sumas
La transformada escalada es igual a la transformada de la función escalada

L [c_{1} f (x) + c_{2} g (x)] = c_{1} L [f (x)] + c_{2} L [g (x)]

Traslación

let L [f (x)] = F (x) ⟹ L [e^{a x} f (x)] = F (s - a)

Propiedad sin nombre N° 3

Sean un montón de boludeces definidas arbitrariamente a priori..., y $n$ un natural posivito $n \in N$

Si escalamos $f$ por

L [x^{n} f (x)] = (- 1)^{n} \frac{d^{n} F (s)}{d s^{n}} = (- 1)^{n} F^{(n)} (s)

Propiedad sin nombre N° 4

Si $L [f (x)] = F (s)$ y existe $lim_{x \to 0^{+}} f (x) / x$
Entonces $L [\frac{1}{x} f (x)] = \int_{s}^{x} F (t) d t$

Propiedad sin nombre N° 5

L [\int_{0}^{x} f (t) d t] = F (s) / s

Cap 22: Transformadas inversas de Laplace

Y si fuera al revés?

La trans. inv. de L. de $F (s)$ , designada $L^{- 1} [F (s)]$ es otra func. f(x) tal que $L [f (x)] = F (s)$

Propiedad (sí, hay sólo una. gracias a dios)

omg, it's linealidad again

L^{- 1} [c_{1} f (x) + c_{2} g (x)] = c_{1} L^{- 1} [f (x)] + c_{2} L^{- 1} [g (x)]

@ Recordamos Descomposición en fracciones simples

Cap 21: Transformada de Laplace de derivadas

Esto no está en el libro :0

L [f^{'} (x)] = \int_{0}^{\infty} e^{- s x} f^{'} (x) \overset{(1)}{=}

e^{- s x} \cdot f (x)]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - s e^{- s x} \cdot f (x) d x =

lim_{R \to \infty} (e^{- s x} f (x)]_{0}^{R} + s \int^{(2)} e^{- s x} f (x) d x)

lim_{R \to \infty} [e^{-} s R f (R) - \overset{= 1}{\overset{―}{e^{0}}} f (0)] + s F (s) =

lim_{R \to \infty} \frac{f (R)}{e^{s R}} - lim_{R \to \infty} \overset{cte.}{\overset{―}{f (0)}} + s F (s) \overset{(3)}{=}

- f (0) + s F (s) =

s F (s) - f (0)

Aplicamos Integración por partes
- $u = e^{- s x}$ ----- $d u = - s e^{- s x} d x$
- $d v = f^{'} (x)$ --- $v = f (x)$
Llamamos a esto (lo verde) como $L [f (x)] = F (s)$
Si $f (x)$ tiene transformada de Laplace, entonces puede demostrarse que este límite es 0

Apéndice

Transformadas

L [\sin (a x)] = \frac{a}{s^{2} + a^{2}}, s > 0

L [\cos (a x)] = \frac{s}{s^{2} + a^{2}}, s > 0

L [e^{b x} \sin (a x)] = \frac{a}{(s - b)^{2} + a^{2}}, {b = 1, a = \sqrt{2}}

Ejercicios / Ejemplos / Tarea

Repasar "Descomposición en fracciones parciales/simples"
- Stewart vol. 1 § 7.4

Clase

Cap. 21: Transformada de Laplace

Todo muy lindo, pero cómo lo hago?

Propiedades

Linealidad

Traslación

Propiedad sin nombre N° 3

Propiedad sin nombre N° 4

Propiedad sin nombre N° 5

Cap 22: Transformadas inversas de Laplace

Propiedad (sí, hay sólo una. gracias a dios)

Cap 21: Transformada de Laplace de derivadas

Apéndice

Transformadas

Ejercicios / Ejemplos / Tarea

Preguntas