240805 - Práctica de Runge-Kutta

Clase

Por cada iteración tengo varios valores $k$ que calcular

Reducción a sistema de ecuaciones

! Euler trabaja sólo con ecuaciones diferenciales de primer orden
Si tenemo una ED de orden $n$ , tenemos q hacer un renombramiento de las variables
$y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, y^{″}, y^{‴}, \dots, y^{(n - 1)})$
A un sistema equivalente:

\begin{matrix} y = y_{1} \\ y^{'} = y_{2} \\ y^{″} = y_{3} \\ ⋮ \\ y^{(n - 1)} = y_{n} \\ y^{(n)} = f (x, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) \end{matrix}

Ej.:
$y^{″} - x^{2} y^{'} - x y = 0$
$y_{2}^{'} = x^{2} y_{2} + x y_{1}$

Otra de resolver

Para no usar los subíndices, se puede hacer el renombramiento de la siguiente forma

{\begin{cases} y = y \\ y^{'} = z \end{cases} \to {\begin{cases} y^{'} = z \\ z^{'} = \end{cases}

Ej.:
$y^{″} = x^{2} y^{'} + x y$
$z^{'} = x^{2} z + x y$

Cuando la ecuación no está en forma normalizada

Cuando el coeficiente de la derivada de mayor orden no es $1$ , se dice que no está normalizada

$t x^{″} - 4 x^{'} - t^{2} x = \sin (t)$

Ejercicios / Ejemplos

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Hoja de práctica

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Preguntas