240624 - Forma compleja de Serie de Fourier y Métodos de R-K

Clase

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Forma simple de la serie

$f (t) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} [a_{k} \cos (k ω_{0} t) + b_{k} \sin (k ω_{0} t)]$
donde:

$a_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t$
$a_{k} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos (k ω_{0} t) d t$
$b_{k} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \sin (k ω_{0} t) d t$

Forma compleja de la serie

Lo que hay que saber para el parcial, es lo que está en la presetación
Sale de la fórmula de Euler

Si sumamos estas igualdades (la fórmula de Euler, y la fórmula con $- t$ )
$e^{i t} = \cos t + i \sin t$
$e^{- i t} = \cos t - i \sin t$

~ (ver en la hoja)

Reemplazamos en 19.17

f (t) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} [a_{k} \frac{e^{i k ω_{0} t} + e^{- i k ω_{0} t}}{2} + b_{k} \frac{e^{i k ω_{0} t} - e^{- i k ω_{0} t}}{2 i}]

Simplificamos
- ? En el segundo término no falta la $i$ en el divisor?
- $ No. Pasa arriba al sacar factor común

a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} [e^{i k ω_{0} t} \frac{a_{k} - i b_{k}}{2} + e^{- i k ω_{0} t} \frac{a_{k} + i b_{k}}{2}]

Se define $C_{k}$ :

C_{k} = {\begin{cases} k = 0 ⟹ a_{0} \\ k > 0 ⟹ \frac{a_{k} - i b_{k}}{2} \\ k < 0 ⟹ \frac{a_{- k} + i b_{- k}}{2} \end{cases}

Entonces llamamos:
- $c_{0} = a_{0}$ (definición)
- $c_{k} = \frac{a_{k} - i b_{k}}{2}$ (definición)
- $c_{- k} = \frac{a_{- k} + i b_{- k}}{2}$ (observación) $= \frac{a_{k} + i b_{k}}{2}$
Finalmente: La Serie de Fourier completa

f (t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_{k} e^{i k ω_{0} t}

Integrando: Transformada de Fourier es este límite

lim_{T \to \infty} f (t) = \dots = \int_{- \infty}^{\infty} F (i ω_{0}) e^{i ω_{0} t} d t

Métodos de Rouge-Kutta

Secciones 25.4 - 25.9 no se ve
Lectura hasta pág. 730

Repaso de EDO

Las EDO tienen como incógnita una función, e involucran una derivada
De primer orden: Aparece la f. incógnita (de x)
- & $y = y (x)$
Problemas de Valor inicial ~
~

Método 1: Método de Euler (§25.1)

Método 2: Euler Mejorado (§25.2)

Método 3: Método de R-K (§25.3)

Ejercicios / Ejemplos / Tarea

Repasar Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (para Rouge-Kutta)
- El Traductor: Guía para aprender EDO, Fundamentos y aplicaciones

Preguntas

Clase de consulta

? Diferencia entre $ϵ_{a}$ y $ϵ_{t}$ ?