240318 - Intro & Error & Métodos cerrados

Clase

Profesores
- Teoría: Jorge Flamini
- Práctica: Maira Fiorenza
  - mairagfiorenza@gmail.com
  - Consultas Jueves 20hs
Libros:
- Métodos numéricos para ingenieros, Chapra & Canale
Temas:
- Aproximación de la solución de ecuaciones algebraicas
- Series & transformadas de Fourier
- Transformadas de Laplace
- Métodos numéricos para solucionar ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales
- Modelado matemático
Evaluación
- 2 parciales teorico-prácticos
  - Aprueba con 6
  - 1 recuperatorio & 1 globalizador
- Pide aplicar teoremas, pero no demostrarlos
- Posiblemente un TP
- 1 parcial de AD teórico-conceptural (sin práctica)
  - 1 recuperatorio
! De haber paro de transporte, las clases se hacen virtual

Error verdadero $(ϵ_{t})$ : La diferencia entre valor verdadero y el valor aproximado
- & Por ahora, es más un concepto transicional
- & Consulta: para qué sirve?
- $ϵ_{a} = | V_{t} - V_{a} |$ , es un valor entre $[0, 1]$
Error relativo $(ϵ_{r})$ : Da una dimensión de que si el error es grande o pequeño a comparación de lo que se mide
- $ϵ_{r} = ϵ_{a} / V_{t}$
- Error relativo porcentual $(ϵ_{r %})$ : Es lo mismo pero 0 y 100
Cálculo iterativo del error
- $ϵ_{r} = \frac{| V_{a p}^{n u e v o} - V_{a p}^{a n t e r i o r} |}{| V_{a p}^{n u e v o} |}$
- Tolerancia $(ϵ_{s})$ : Es la cota del error
  - $| ϵ_{a} | \leq “algo” = ϵ_{s}$
- ~ Propiedad: Si $| ϵ_{r} | < ϵ_{s}$ entonces el resultado es correcto con al menos $n$ cifras significativas, donde $ϵ_{s} = (0, 5 \cdot 10^{2 - n}) %$
- & Ver ejemplo 3.2

Raíz/Solución: Es el valor de incógnita de una ecuación para que $f (x) = 0$
Método gráfico: Es graficar la función con un software y ver dónde corta

Sección 5.2
Es como una búsqueda dicotómica en Algoritmos

Buscar cotas $x_{l}, x_{u}$ (lower, upper) tales que $f (x_{l}) \cdot f (x_{u}) < 0$
- Es decir, dos valores que ronden la raíz, que tengan signos opuestos
Evaluar $f$ en el valor medio entre las cotas (el promedio $x_{p} = (x_{l} + x_{u}) / 2$ )
- Si $f (x_{p}) \neq 0$ : $x_{p}$ será la cota para la siguiente iteración
- Será la cota superior si $f (x_{p})$ tiene el mismo signo que $f (x_{u})$ , y lo mismo para la inferior
Repetir el proceso hasta alcanzar un valor dentro de la tolerancia

Sección 5.3
Similar al anterior, pero consigue resultados más exactos en menos iteraciones
i.e. "Converge" más rápido

Idem en Bisección
Plantear la recta $r$ que pasa por $A (x_{l}, f (x_{l})), B (x_{u}, f (x_{u}))$
La nueva cota $x_{1}$ es el punto $eje x \cap r$
- Concluimos la siguiente ecuación: $$x_1 = x_u - {f(x_u)\cdot (x_l-x_u) \over f(x_l) - f(x_u)}$$
  - Esta sale de la forma explícita de la recta $$y-f(x_u) = {f(x_l)-f(x_u)\over x_l-x_u} (x-x_u)$$